중복 없이 로또의 모든 번호 조합을 모조리 사버리면 어떻게 될까?
(부제 : 로또에 당첨되려면 얼마를 써야할까?)
문득 든 생각이 있습니다.
만약 나에게 있는 자본은 무한하고, 로또의 모든 번호 조합을 사서 어떻게든 로또 1등을 당첨시킨다면?
(이때 1인당 로또 최대 구매 한도가 존재하지 않는다고 가정하고, 중복된 번호 조합은 구매하지 않는다.)
이를 위해서는 로또의 모든 번호 조합은 총 몇 개가 있는지 알아야 합니다.
예시로, 로또 6/45에서의 1등 당첨은 총 1부터 45개의 숫자 중 임의의 6개 수를 순서 없이 모두 맞추면 됩니다.
즉, 이 말은 총 1부터 45개의 숫자 중 6개를 순서없이 뽑는 모든 조합의 수만큼 로또를 구매하면 된다는 것입니다.
그리고 이러한 경우의 수는 다음과 같이 계산합니다.
★계산 과정을 스킵하고 결과만 보고 싶으시다면 글 제일 아래 부분에 위치한 표를 보면 됩니다.
45개 숫자 중 임의의 6개를 수를 뽑기 때문에 ( 45 x 44 x 43 x 42 x 41 x 40 )을 합니다.
하지만 이 6개의 숫자의 순서는 고려하지 않기에 ( 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) 을 나누어 주면 됩니다.
이는 조합을 알고 있으면 이해하기 쉽고, 조합으로 나타낸다면 ( 45 C 6 )입니다.
즉 우리는 로또의 모든 번호 조합을 사기 위해서 총 8,145,060 게임을 구매해야 하며, 이 가격은 총 8,145,060,000원으로 81억 4천5백6만 원을 쓰면 됩니다.
그렇다면 이렇게 8,145,060개의 모두 다른 번호 조합의 로또를 구매하게 되면 각 순위에서의 당첨 횟수는 어떻게 될까?
1위의 경우에는 당연히 1개의 경우에서만 당첨됩니다.
2위의 경우에는 6개 중 5개의 숫자가 일치하고 보너스 1개의 숫자가 일치하여야만 당첨됩니다.
이 경우에는 ( 6 C 5 )로 약 800만 개 중 6개만 2등 당첨에 성공합니다.
3위의 경우에는 6개 중 5개의 숫자가 일치하고 나머지 1개의 숫자는 당첨번호가 되어서도 안되고, 보너스 숫자가 되어서는 안 됩니다.
그렇기에 이는 ( 6 C 5 ) x ( 38 C 1 )으로 228개가 3위 당첨에 성공합니다.
4위의 경우에는 6개 중 4개의 숫자가 일치하고 나머지 2개의 숫자는 당첨번호에 포함되어서는 안 됩니다.
이러한 경우는 ( 6 C 4 ) x ( 39 C 2 )으로 11,115 경우입니다.
5위의 경우에는 6개 중 3개의 숫자가 일치하고 나머지 3개의 숫자는 당첨번호에 포함되어서는 안 됩니다.
이러한 경우는 ( 6 C 3 ) x ( 39 C 3 )으로 182,780 경우입니다.
이를 보기 쉽게 표를 통해 나타내 보았습니다. ▶
| 순위 | 모든 로또 구매 시 당첨 횟수 | 당첨금 실 수령액 기댓값 (세금 계산) | 당첨 횟수 x 실 수령액 |
| 1위 | 1 | 1,307,947,200원 | 1,307,947,200원 |
| 2위 | 6 | 42,296,799원 | 253,780,794원 |
| 3위 | 228 | 1,084,533원 | 247,273,524원 |
| 4위 | 11,115 | 50,000원 | 555,750,000원 |
| 5위 | 182,780 | 5,000원 | 913,900,000원 |
| 총 실질 당첨 금액▶ | 3,278,651,518원 | ||
정리하면 다음과 같습니다.
우리는 로또의 모든 번호 조합을 사기 위해서 8,145,060,000원 (약 81억 원)을 사용하여야 하고, 그만큼의 자본을 투자했을 때의 총 실질 당첨 금액의 기댓값은 3,278,651,518원 (약 32억 원)입니다.
이는 49억 원을 잃게 되는 것을 의미하고, 달리 말해 투자 자본의 약 60% 이상을 손해 본답니다.
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